Teorema medianei
Teorema medianei este una dintre proprietățile superbe ale triunghiului dreptunghic. Deși cuvântul „teoremă” poate suna complicat, o să vezi că este ușor de înțeles dacă o explicăm pas cu pas, cu un exemplu simplu.
Într-un triunghi dreptunghic, mediana dusă din vârful unghiului drept este egală cu jumătate din ipotenuză.
Ce este o mediană?
Înainte să discutăm despre teoremă, să înțelegem ce este o mediană.
Mediana unui triunghi este un segment care pleacă dintr-un vârf al triunghiului și ajunge în mijlocul laturii opuse.
Explicație pe înțelesul tuturor
Dacă ai un triunghi dreptunghic, iar tu trasezi o mediană din colțul unde este unghiul de 90° spre mijlocul ipotenuzei (cea mai lungă latură), atunci acea mediană va avea exact jumătate din lungimea ipotenuzei.
Exemplu
Să luăm un triunghi dreptunghic ABC, unde unghiul drept este la A, iar laturile sunt așa:
- AB = 6 cm
- AC = 8 cm
- BC (ipotenuza) = 10 cm
Dacă desenăm mediana din punctul A către mijlocul ipotenuzei BC, atunci acea mediană va avea lungimea:
AM = ½ × BC = ½ × 10 = 5 cm
Mediana AM = 5 cm
Exemplul 2
În triunghiul dreptunghic XYZ, ipotenuza YZ = 12 cm.
Mediana din unghiul drept X spre mijlocul ipotenuzei va fi:
XM = ½ × YZ = ½ × 12 = 6 cm
Reciproca teoremei
Reciproca sună astfel:
Dacă într-un triunghi, mediana dusă dintr-un vârf are lungimea egală cu jumătate din latura opusă, atunci triunghiul este dreptunghic, iar mediana respectivă este dusă din unghiul drept.
Explicație simplă:
Presupunem că avem un triunghi oarecare ABC, iar M este mijlocul laturii BC.
Dacă mediana AM are exact jumătate din lungimea laturii BC, adică:
atunci triunghiul ABC este dreptunghic, iar unghiul A este drept (90°).
Explicație
Presupunem că avem un triunghi oarecare ABC, iar M este mijlocul laturii BC.
Dacă mediana AM are exact jumătate din lungimea laturii BC, adică:
atunci triunghiul ABC este dreptunghic, iar unghiul A este drept (90°).
Exemplu:
Ai un triunghi XYZ în care:
- YZ = 10 cm
- M este mijlocul lui YZ
- XM = 5 cm
Deoarece mediana XM = ½ × YZ, putem spune că triunghiul XYZ este dreptunghic în X.
Întrebări frecvente
Când aplicăm teorema medianei?
- Aceasta se aplică doar în triunghiurile dreptunghice
- Doar dacă mediana pornește din unghiul drept spre mijlocul ipotenuzei
De ce este o teoremă esențială?
Această teoremă este utilă în probleme de geometrie în care trebuie să afli o lungime necunoscută. Uneori nu ai destule informații despre toți catetele, dar dacă știi ipotenuza, poți afla lungimea medianei direct!
Se aplică teorema și dacă mediana nu pleacă din unghiul drept?
Nu. După cum am spus și mai devreme, aceasta trebuie obligatoriu să se aplice în triunghiul dreptunghic și trebuie să pornească din unghiul drept către mijlocul ipotenuzei.
Trebuie să știu care este lungimea ipotenuzei pentru a folosi teorema?
Da. Fără lungimea ipotenuzei, nu poți aplica direct formula.
